YaChudo

Крива Персея

Переглядів: 0. Оновлено 01.11.2026.

Криві Персея як переріз тора площиною
Три кривих Персея:
a = 1 , b = 2 , c = 0 {\displaystyle a=1,b=2,c=0}
a = 1 , b = 2 , c = 0 , 8 {\displaystyle a=1,b=2,c=0{,}8}
a = 1 , b = 2 , c = 1 {\displaystyle a=1,b=2,c=1}

Крива́ Персе́я (спіричний перетин, спірична лінія, від д.-грец. σπειρα — тор[1]) — лінія перетину поверхні тора площиною, паралельною до осі обертання тора; плоска алгебрична крива 4-го порядку[2]. Залежно від відстані січної площини до осі тора, криві можуть мати форми «опуклих» та «увігнутих» овалів, «вісімок» та двох окремих овалів[3].

Вперше цей підклас торичних перерізів вивчався давньогрецьким геометром Персеєм близько 150 року до н. е., через приблизно 200 років після перших досліджень конічних перетинів Менехмом[4]. Повторно описані у XVII столітті[3] лемніската Бута («опуклий овал») і овал Кассіні («вісімка») — є частковими випадками кривої Персея.

Рівняння кривої у декартовій системі координат[5]:

( x 2 + y 2 ) 2 = a x 2 + b y 2 + c {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=ax^{2}+by^{2}+c} .

Інша форма рівняння у декартових координатах:

( r 2 − a 2 + c 2 + x 2 + y 2 ) 2 = 4 r 2 ( x 2 + c 2 ) {\displaystyle (r^{2}-a^{2}+c^{2}+x^{2}+y^{2})^{2}=4r^{2}(x^{2}+c^{2})} ,

тут a {\displaystyle a}  — радіус кола, обертанням якого уздовж кола з радіусом r {\displaystyle r} утворений тор. При c = 0 {\displaystyle c=0} крива складається з двох кіл радіуса a {\displaystyle a} з центрами ( ± r , 0 ) {\displaystyle (\pm r,0)} ; при c = r + a {\displaystyle c=r+a} крива вироджується у точку — початок координат, якщо ж c > r + a {\displaystyle c>r+a}  — то крива складається з порожньої множини точок[4].

Також можна визначити криву Персея як біциркулярну криву[6], симетричну відносно осей x {\displaystyle x} і y {\displaystyle y} .

Рівняння у полярних координатах:

( r 2 − a 2 + b 2 + c 2 ) 2 = 4 b 2 ( r 2 cos 2 ⁡ θ + c 2 ) {\displaystyle (r^{2}-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4b^{2}(r^{2}\cos ^{2}\theta +c^{2})} ,

або

r 4 = d r 2 cos 2 ⁡ θ + e r 2 sin 2 ⁡ θ + f {\displaystyle r^{4}=dr^{2}\cos ^{2}\theta +er^{2}\sin ^{2}\theta +f} .

Примітки

  1. ↑ Stillwell, 2010, с. 32.
  2. ↑ Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. (Справочное руководство). — М.: Физматгиз, 1960. — 294 с.
  3. ↑ а б Stillwell, 2010, с. 33.
  4. ↑ а б MacTutor, 1997.
  5. ↑ Низка часткових випадків рівняння не є перетином тора
  6. ↑ Бициркулярная кривая // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп. т.). — СПб., 1890—1907. (рос. дореф.)

Джерела

  • John Stillwell. Mathematics and Its History. — Springer-Verlag, 2010. — С. 33. — ISBN 978-1-4419-6053-5.

Посилання

Джерело: стаття у Вікіпедії та історія редагувань (автори).