Клотоїда

Клотоїда, Спіраль Корню або Спіраль Ейлера — крива, в якої кривина змінюється лінійно як функція від довжини дуги.^[1]

${\displaystyle 1/R\sim L\iff R\cdot L=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}}$

Клотоїда використовувалася Корню для полегшення обрахунку дифракції в прикладних задачах.

Клотоїда використовується як перехідна дуга при будівництві доріг. Коли ділянка дороги має форму клотоїди, кермо повертається рівномірно. Така форма дороги дозволяє здійснювати поворот без суттєвого зниження швидкості.

• Параметрично клотоїда може бути представлена через інтеграли Френеля:

${\displaystyle x(t)=aC(t)=a{\int }_0^t\cos u^{2}du,}$

${\displaystyle y(t)=aS(t)=a{\int }_0^t\sin u^{2}du.}$

• Клотоїда має нескінченну довжину.
• Симетрична відносно початку координат.

Якщо коефіцієнт ${\displaystyle a}$ дорівнює одиниці:

• Довжина відрізка кривої від нуля до ${\displaystyle t}$ дорівнює ${\displaystyle t}$.
• Кривина змінюється лінійно від ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle 2t}$.
• Кут повороту дотичної до кривої на відрізку від нуля до ${\displaystyle t}$ дорівнює ${\displaystyle t^2}$ радіан.

• Weisstein, Eric W. Cornu Spiral(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Euler's spiral at 2-D Mathematical Curves
• Interactive example with JSXGraph