Катеноїд

Катено́їд — поверхня, яка утворюється обертанням ланцюгової лінії ${\displaystyle y=a\,\operatorname {ch} \,{\frac {x}{a}}}$ навколо осі ${\displaystyle OX}$. Слово катеноїд утворено від латинського catena — ланцюг і грецького éidos — вид.

Параметричне рівняння катеноїда:

${\displaystyle {\begin{cases}x=\operatorname {ch} (u)\,\cos(v)\\y=\operatorname {ch} (u)\,\sin(v)\\z=u\end{cases}},\quad u\in \mathbb {R} ,\quad v\in \left[0;2\pi \right).}$

Якщо відкинути площину, то катеноїд — перша відкрита мінімальна поверхня. В 1744 році Леонард Ейлер знайшов рівняння катеноїда та довів, що ця поверхня буде мінімальною^[1]. Існує всього дві мінімальні поверхні обертання — площина та катеноїд.

Форми катеноїда набуває мильна плівка, натягнута на два дротяних кола, площини яких перпендикулярні лінії, що з'єднує їх центри.

Невелику ділянку гелікоїда можна ізометрично (тобто без стиску і розтягу) гладко продеформувати в ділянку катеноїда.

• Гелікоїд

1. ↑ L. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, 1744, in: Opera omnia I, 24

• Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 2./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1984. (рос.)

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Катеноїд, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Катеноїд в енциклопедії Formes Mathématiques Remarquables [Архівовано 1 серпня 2013 у Wayback Machine.] (французькою мовою)
• Анімовані 3D WebGL моделі катеноїда [Архівовано 25 жовтня 2013 у Wayback Machine.]