Задача Ґурси

Зада́ча Ґурси́ — різновид крайової задачі для гіперболічних рівнянь і систем 2-го порядку з двома незалежними змінними за даними на двох характеристичних кривих, які виходять з однієї точки.

Задачу названо на честь математика Е. Ґурси. В його «Курсі математичного аналізу» їй присвячено окремий параграф.^[1]

Нехай на ділянці ${\displaystyle \Omega }$ задано гіперболічне рівняння ${\displaystyle u_{xy}=F(x,\,y,\,u,\,u_{x},\,u_{y})}$ та крайову умову.

Задача: знайти регулярний на ділянці ${\displaystyle \Omega }$ і неперервний на замиканні ${\displaystyle {\bar {\Omega }}}$ розв'язок за крайовою умовою.

У «Математичній енциклопедії»^[2] крайову умову сформульовано так:

${\displaystyle u(0,\,t)=\varphi (t),\;u(t,\,1)=\psi (t),\;\varphi (1)=\psi (0)}$, де ${\displaystyle \varphi }$ і ${\displaystyle \psi }$ — задані неперервно диференційовні функції.

У підручнику Тихонова, Самарського^[3] її сформульовано дещо інакше:

${\displaystyle u(x,\,0)=\varphi _{1}(x),\;u(0,\,y)=\varphi _{2}(y)}$, де ${\displaystyle \varphi _{1}}$ і ${\displaystyle \varphi _{2}}$ задовольняють умови спряження та диференційовності.

Легко бачити, що це задача з даними на характеристиках рівняння. Вона примітна тим, що для задання розв'язку достатньо двох функцій (порівн. з початково-крайовою задачею).

У «Курсі» Ґурси йдеться про загальніший випадок:

${\displaystyle u(x,\,\pi (x))=\varphi (x),\;u(\chi (y),\,y)=\psi (y)}$

Якщо функція ${\displaystyle F}$ неперервна для всіх ${\displaystyle (x,\,y)\in {\bar {\Omega }}}$ і для будь-яких ${\displaystyle u,\;p=u_{x},\;q=u_{y}}$ допускає похідні ${\displaystyle F_{u},\;F_{p},\;F_{q}}$, які за абсолютною величиною менші від деякого числа, то в ділянці ${\displaystyle {\bar {\Omega }}}$ існує єдиний та стійкий розв'язок.

Розглядають лінійний випадок. Початкове рівняння набуває вигляду ${\displaystyle Lu\equiv u_{xy}+au_{x}+bu_{y}+cu=f}$.

Вводять функцію Рімана ${\displaystyle R(x,\,y;\;\xi ,\,\eta )}$, яка однозначно визначається як розв'язок рівняння

${\displaystyle R_{xy}-(aR)_{x}-(bR)_{y}+cR=0}$,

що задовольняє умови

${\displaystyle R(\xi ,\,y;\;\xi ,\,\eta )=\exp \int \limits _{\eta }^{y}a(\xi ,\,t)dt}$

${\displaystyle R(x,\,\eta ;\;\xi ,\eta )=\exp \int \limits _{\xi }^{x}b(t,\,\eta )dt}$

де ${\displaystyle (\xi ,\,\eta )\in \Omega }$ — довільна точка.

Розв'язок задачі Ґурси в лінійному випадку в «Енциклопедії» наведено при ${\displaystyle \varphi =\psi \equiv 0}$

${\displaystyle u(x,\,y)=\int \limits _{0}^{x}d\xi \int \limits _{1}^{y}R(\xi ,\,\eta ;\;x,\,y)f(x,y)d\eta }$

Розглядають два випадки.

1. ${\displaystyle F(x,\,y,\,u,\,u_{x},\,u_{y})=f(x,\,y)}$

Послідовно інтегруючи початкове рівняння, отримують аналітичну формулу

${\displaystyle u(x,\,y)=\varphi _{1}(x)+\varphi _{2}(y)-\varphi _{1}(0)+\int \limits _{0}^{y}\int \limits _{0}^{x}f(\xi ,\,\eta )d\xi d\eta }$

З неї випливає існування та єдиність розв'язку цієї задачі.

2. ${\displaystyle F(x,\,y,\,u,\,u_{x},\,u_{y})=au_{x}+bu_{y}+cu+f}$

Початкове рівняння перетворюють на інтегро-диференціальне рівняння

${\displaystyle u(x,\,y)=\int \limits _{0}^{y}\int \limits _{0}^{x}\left[au_{\xi }+bu_{\eta }+cu\right]d\xi d\eta +\varphi _{1}(x)+\varphi _{2}(y)-\varphi _{1}(0)+\int \limits _{0}^{y}\int \limits _{0}^{x}f(\xi ,\,\eta )d\xi d\eta }$

Це рівняння розв'язують методом послідовних наближень. Нульове наближення ${\displaystyle u_{0}(x,\,y)=0}$ підставляють у інтегро-диференціальне рівняння. Результат приймають за перше наближення, яке в свою чергу підставляють у інтегро-диференціальне рівняння і т. д. Так виходить нескінченна послідовність ${\displaystyle \left\{u_{n}(x,\,y)\right\}}$. Далі доводять збіжність цієї послідовності і знаходять її границю ${\displaystyle u(x,\,y)=\lim _{n\to \infty }u_{n}(x,\,y)}$. Ця границя і є розв'язком задачі.