Дріб

Дріб (звичайний дріб, простий дріб) — у математиці — представлення чисел або математичних величин у вигляді результату операції ділення.

Передусім, це число, яке належить до множини раціональних чисел Q. Найчастіше дріб подається у формі ${\displaystyle a \over b}$, де ділене a називають чисельником, а дільник b — знаменником дробу. Також рівнозначно застосовують форму a:b або a/b. Знаменник дробу не може дорівнювати нулю.

Історично, через дроби були побудовані раціональні числа, коли чисельник та знаменник — цілі числа.

Дроби застосовують для позначення частин деяких об'єктів, наприклад:

• 2/3 (читається «дві третини») мешканців міста,
• 1/5 (читається «одна п'ята») кімнати.

• Раціональні дроби
• Десяткові дроби
• Правильні та неправильні дроби
• Мішані дроби
• Взаємно обернені дроби
• Ланцюгові дроби

Якщо чисельник менший від знаменника, то такий дріб називається правильним:

${\displaystyle 3 \over 5}$.

Якщо чисельник більший від знаменника або рівний йому, то такий дріб називається неправильним:

${\displaystyle 7 \over 2}$ або ${\displaystyle 2 \over 2}$.

Неправильні дроби погоджено подавати у вигляді мішаних чисел:

${\displaystyle {7 \over 2}=3{1 \over 2}}$.

Для того, щоб перетворити неправильний дріб на мішане число, потрібно чисельник поділити на знаменник. Наприклад, дробом 7/2 можна записати результат ділення числа 7 на число 2. Тоді цілу і дробову частини мішаного числа можна знайти так^[1]:

1. Виконуємо ділення націло: 7:2 = 3 (залишок 1).
2. Отримана неповна частка (3) буде цілою частиною мішаного числа,
3. Залишок (1) буде чисельником дробової частини.

Два дроби називаються взаємно оберненими, якщо чисельник першого дробу дорівнює знаменнику другого і навпаки. Тобто взаємно оберненими є:
${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ і ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$.
Дріб, обернений до цілого числа, має як чисельник одиницю, а як знаменник — це саме число. Тобто взаємно оберненими є:
${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle {\frac {1}{a}}}$.
Число 1 обернене саме до себе.

У даній статті подається спрощене пояснення операцій над раціональними числами. Для детальнішого теоретичного пояснення, дивіться статтю про раціональне число.

Спрощення дробу — це заміна дробу рівним йому шляхом ділення його чисельника і знаменника на одне й те саме натуральне число, яке є їх спільним дільником, наприклад на найбільший спільний дільник (НСД) відповідно до основної властивості дробу — щоб отримати його нескоротну форму за один крок.

Математично це ґрунтується на основній властивості дробу: якщо чисельник і знаменник поділити або помножити на одне й те саме відмінне від нуля число, значення дробу не зміниться.

${\displaystyle {\frac {a\cdot c}{b\cdot c}}={\frac {a}{b}}}$ ; ${\displaystyle {\frac {a:c}{b:c}}={\frac {a}{b}}}$

Нескоротний дріб

Дріб називають нескоротним, якщо його чисельник і знаменник є взаємно простими числами, тобто їхній найбільший спільний дільник (НСД) дорівнює 1. Будь-який дріб стає нескоротним, якщо поділити його чисельник і знаменник на їхній НСД.

Сумою двох дробів із спільним (однаковим) знаменником є дріб, чисельник якого дорівнює сумі чисельників, а знаменник дорівнює спільному знаменнику доданків.

Щоб додати два дроби a:b та c:d, слід спершу звести їх до спільного знаменника, який дорівнює найменшому спільному кратному (НСК) знаменників обох дробів. Або помножити чисельник та знаменник кожного дробу на знаменник іншого ^{[джерело?]}. Таким чином, ми отримаємо два дроби із однаковими знаменниками:

${\displaystyle {{a \over b}+{c \over d}}={{{ad} \over {bd}}+{{cb} \over {db}}}={{ad+cb} \over {bd}}}$.

Додатковий множник — це число, на яке множать чисельник і знаменник дробу, щоб привести його до нового знаменника. Щоб знайти додатковий множник для кожного доданка, потрібено спільний знаменник поділити на знаменник відповідного дробу. Після множення ми отримуємо рівнозначні дроби, з якими тепер можна виконувати додавання або віднімання за правилом дробів з однаковими знаменниками.

За аналогією із додаванням дробів, визначається їх різниця:

${\displaystyle {{a \over b}-{c \over d}}={{a \over b}+{-c \over d}}={{{ad} \over {bd}}+{{-cb} \over {bd}}}={{ad-cb} \over {bd}}}$.

Тобто, змінивши знак чисельника другого доданку на протилежний, ми просто додаємо їх.

Добутком двох дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників, а знаменник — добутку знаменників. Якщо чисельник одного дробу і знаменник того самого або іншого дробу утворюють скоротний дріб, то його можна скоротити.

${\displaystyle {a \over b}\cdot {c \over d}}={{ac} \over {bd}}$.

Якщо помножити дріб на його знаменник, вийде його чисельник:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times b=a}$.

Добутком двох взаємно обернених дробів є завжди 1:

${\displaystyle {a \over b}\times {b \over a}=1}$.

Множення дробу на натуральне число. Добуток дробу і натурального числа є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельника із натуральним числом, а знаменник лишається без зміни.

Приклади:

${\displaystyle {\frac {3}{7}}\cdot 2={\frac {3\cdot 2}{7}}={\frac {6}{7}}}$,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot 4={\frac {4}{2}}=2}$.

Множення мішаних чисел. Для того щоб помножити два мішаних числа, потрібно:

• перетворити мішані дроби в неправильні;
• перемножити чисельники і знаменники дробів;
• скоротити отриманий дріб;
• якщо було отримано неправильний дріб потрібно перетворити його в мішаний.^[2]

Знаходження добутку двох мішаних чисел: ${\displaystyle {2}{\tfrac {1}{2}}\cdot {1}{\tfrac {2}{3}}={\tfrac {4+1}{2}}\cdot {\tfrac {3+2}{3}}={\tfrac {5}{2}}\cdot {\tfrac {5}{3}}={\tfrac {25}{6}}={4}{\tfrac {1}{6}}}$.

Знаходження добутку мішаного дробу і цілого числа: ${\displaystyle {4}{\tfrac {1}{3}}\cdot 6={\tfrac {12+1}{3}}\cdot 6={\tfrac {13\cdot 6}{3}}=26}$.

Знаходження добутку мішаного і звичайного дробу: ${\displaystyle {2}{\tfrac {1}{7}}\cdot {\tfrac {3}{5}}={\tfrac {14+1}{7}}\cdot {\tfrac {3}{5}}={\tfrac {15\cdot 3}{7\cdot 5}}={\tfrac {9}{7}}={1}{\tfrac {2}{7}}}$.

Часткою двох дробів є дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельника діленого на знаменник дільника, а знаменник — добутку знаменника діленого на чисельник дільника:

${\displaystyle {{a \over b}:{c \over d}}={{a \over b} \over {c \over d}}={{ad} \over {bc}}}$.

Ділення дробу на натуральне число. Щоб поділити дріб на натуральне число, потрібно знаменник дробу помножити на дане число, а чисельник залишити без змін.

Приклад:

${\displaystyle {\tfrac {3}{7}}\div {2}={\tfrac {3}{7\cdot 2}}={\tfrac {3}{14}}}$.

Ділення натурального числа на дріб. Щоб поділити натуральне число на дріб, потрібно число помножити на дріб обернений заданому. Щоб отримати дріб, обернений даному, слід поміняти місцями чисельник і знаменник.

Приклади:

${\displaystyle {2}\div {\tfrac {7}{2}}={2}\cdot {\tfrac {2}{7}}={\tfrac {4}{7}}}$.

${\displaystyle {2}\div {\tfrac {4}{5}}={2}\cdot {\tfrac {5}{4}}={\tfrac {2\cdot 5}{2\cdot 2}}={\tfrac {4+1}{2}}={2}{\tfrac {1}{2}}}$.

Ділення звичайних дробів. Щоб поділити один дріб на інший, потрібно помножити перший дріб на дріб, обернений даному.

Приклади:

${\displaystyle {\tfrac {3}{7}}\div {\tfrac {4}{5}}={\tfrac {3}{7}}\cdot {\tfrac {5}{4}}={\tfrac {3\cdot 5}{7\cdot 4}}={\tfrac {15}{28}}}$,

${\displaystyle {\tfrac {6}{7}}\div {\tfrac {4}{7}}={\tfrac {6}{7}}\cdot {\tfrac {7}{4}}={\tfrac {6\cdot 7}{7\cdot 4}}={\tfrac {3}{2}}={1}{\tfrac {1}{2}}}$.

Ділення мішаних чисел. Щоб поділити одне мішане число на інше, потрібно:

• перетворити мішані числа в неправильні дроби;
• помножити перший дріб на дріб, обернений даному;
• скоротити отриманий дріб;
• якщо було отримано неправильний дріб, перетворити його в мішане число.^[3]

Приклади:

${\displaystyle {1}{\tfrac {1}{2}}\div {2}{\tfrac {2}{3}}={\tfrac {2+1}{2}}\div {\tfrac {6+2}{3}}={\tfrac {3}{2}}\div {\tfrac {8}{3}}={\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {3}{8}}={\tfrac {9}{16}}}$,

${\displaystyle {2}{\tfrac {1}{7}}\div {\tfrac {3}{5}}={\tfrac {14+1}{7}}\div {\tfrac {3}{5}}={\tfrac {15}{7}}\cdot {\tfrac {5}{3}}={\tfrac {25}{7}}={3}{\tfrac {4}{7}}}$.

Якщо знаменники дробів рівні, то більший той дріб, у якого чисельник більший:

${\displaystyle {\frac {2}{7}}<{\frac {4}{7}}}$.

Якщо чисельники дробів рівні, то більший той дріб, у якого знаменник менший:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}>{\frac {1}{4}}}$.

Щоби порівняти дроби з різними знаменниками їх можна звести їх до однакових знаменників і потім порівняти їх:

Наприклад, що більше, ${\displaystyle {\frac {4}{7}}}$ чи ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$ ?

${\displaystyle {\frac {4}{7}}={\frac {4\cdot 3}{7\cdot 3}}={\frac {12}{21}},\qquad {\frac {2}{3}}={\frac {2\cdot 7}{3\cdot 7}}={\frac {14}{21}}}$.

Отже,

${\displaystyle {\frac {4}{7}}<{\frac {2}{3}}}$.

Пропорції використовують дроби для представлення відношень, тобто того факту, що відношення певних складових частин двох предметів до відповідного цілого предмету є однаковим. Подається цей факт як правило у формі:

${\displaystyle {a \over b}={c \over d}}$

Із цього факту виводяться формули для похідних пропорцій:

${\displaystyle {{ma+nb} \over {pa+qb}}={{mc+nd} \over {pc+qd}}}$

де

${\displaystyle pa+qb\neq 0}$

${\displaystyle pc+qd\neq 0}$

Висновок:

Із ${\displaystyle {a \over b}={c \over d}}$ слідує (помножимо ліву і праву частину рівності на b):

${\displaystyle {a}={{cb} \over d}}$

Підставимо отриманий вираз для a в формулу похідної пропорції:

${\displaystyle {{ma+nb} \over {pa+qb}}={{m{{cb} \over d}+nb} \over {p{{cb} \over d}+qb}}={{{{mcb} \over d}+nb} \over {{{pcb} \over d}+qb}}={{{mcb+nbd} \over d} \over {{pcb+qdb} \over d}}={{{b(mc+nd)} \over d}*{d \over {b(pc+qd)}}}={{mc+nd} \over {pc+qd}}}$

${\displaystyle {{a\pm b} \over b}={{c\pm d} \over d}}$,

${\displaystyle {{a-b} \over {a+b}}={{c-d} \over {c+d}}}$

Очевидно,

${\displaystyle a+b\neq 0}$

${\displaystyle c+d\neq 0}$

Алгебраїчний дріб — це відношення двох алгебраїчних виразів. Як у випадку із частками цілих чисел, знаменник алгебраїчного дробу не може дорівнювати нулю. Наведемо два приклади алгебраїчних дробів:

${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$ та ${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$.

Алгебраїчні дроби є предметом того ж самого поля властивостей, як арифметичні дроби.

Якщо в чисельнику і знаменнику дробу поліноми, як у ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$, алгебраїчний дріб називається раціональним дробом (або раціональним виразом). Ірраціональний дріб це такий дріб, який не є раціональним, як, наприклад, такий, що містить змінну під дробовим степенем або коренем, як у ${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$.

Термінологія, яка використовується для описання алгебраїчних дробів подібна до тої, що і для звичайних дробів. Наприклад, алгебраїчні дроби мають найменший кратний знаменник, якщо єдиним спільним множником для чисельника і знаменника є 1 і −1. Алгебраїчний дріб, в якому чисельник або знаменник, або вони обидва, містить дріб, як, наприклад, ${\displaystyle {\frac {1+{\tfrac {1}{x}}}{1-{\tfrac {1}{x}}}}}$, називається складним дробом.

У школі дріб можна демонструвати за допомогою різних інструментів. Можна використовувати частини кіл, частини стрічок, папір (для згортання або розрізання), частини у формі пирога, папір у клітинку, лічильні палички або геодошку, палички Кюїзенера, шаблонний блок та різне програмне забезпечення.

• 0,(9)
• Розкладання на прості дроби
• Перехресне множення
• Позбавлення від знаменників
• Медіанта (математика)
• FRACTRAN

• Костарчук В.М., Хацет Б.І. Курс вищої алгебри. — К. : Рад. шк, 1964. — 511 с.(укр.)
• Завало С. Т. (1974). Алгебра і теорія чисел. Київ: Вища школа. с. 399. (укр.)
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — Москва : Наука, 1973. — 832 с.(рос.)

• Дріб // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Теза, 2006.
• Поняття раціонального дробу // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 389. — 594 с.
• Робота з дробами. Генерація прикладів з покроковим обчисленням.