Дилогарифм

Дилогарифм — спеціальна функція в математиці, яка позначається ${\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(z)}$ і є окремим випадком полілогарифма ${\displaystyle \mathrm {Li} _{n}(z)}$ при ${\displaystyle n=2}$. Дилогарифм визначається як

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\frac {\ln(1-t)}{t}}\,\mathrm {d} t=\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {z^{j}}{j^{2}}}\;.}$

Наведене визначення дилогарифма правильне для комплексних значень змінної z. Для дійсних значень z = x у цій функції є розріз уздовж дійсної осі від 1 до ${\displaystyle \infty }$. Зазвичай значення функції на розрізі визначається так, що уявна частина ділогарифма від'ємна:

${\displaystyle \operatorname {Im} \left[\operatorname {Li} _{2}(x)\right]=\left\{0\;\;(x\leq 1);\quad -\pi \ln {x}\;\;(x>1)\right\}}$

Функцію ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)}$ часто називають дилогарифмом Ейлера, на честь Леонарда Ейлера, який розглянув її 1768 року^[1]. Іноді дилогарифм називають функцією Спенса (англ. Spence's function) або інтегралом Спенса^[2] на честь шотландського математика Вільяма Спенса (William Spence, 1777—1815)^[3], який на початку XIX століття досліджував функції, відповідні ${\displaystyle -\mathrm {Li} _{2}(-z)}$ і ${\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(1-z)}$. Назву «дилогарифм» увів Гілл (C.J. Hill) 1828 року.

Для дилогарифма існує низка корисних функціональних співвідношень,

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(-z)={\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Li} _{2}(z^{2})}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{z}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1-z)={\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2}-\ln z\;\ln(1-z)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-z)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {z}{1+z}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}{\ln ^{2}(1+z)}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-z)-\operatorname {Li} _{2}(1-z)+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Li} _{2}(1-z^{2})=-{\textstyle {\frac {1}{12}}}\pi ^{2}-\ln z\ln(1+z)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{z}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{z}}$

для дійсних ${\displaystyle x>1}$ ,

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{x}}\right)={\textstyle {\frac {1}{3}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{x}-{\rm {i}}\pi \ln {x}}$

Відомі також співвідношення, що містять дві незалежні змінні — наприклад, тотожність Гілла:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(xy)=\operatorname {Li} _{2}(x)+\operatorname {Li} _{2}(y)-\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {x(1-y)}{1-xy}}\right)-\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {y(1-x)}{1-xy}}\right)-\ln \left({\frac {1-x}{1-xy}}\right)\ln \left({\frac {1-y}{1-xy}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(0)=0}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1)={\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-1)=-{\textstyle {\frac {1}{12}}}\pi ^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}({\textstyle {\frac {1}{2}}})={\textstyle {\frac {1}{12}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{2}}$

Використовуючи співвідношення між функціями від x і 1/x, отримуємо

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(2)={\textstyle {\frac {1}{4}}}\pi ^{2}-{\rm {i}}\pi \ln {2}}$

Існує також низка результатів для аргументів, пов'язаних з золотим перетином ${\displaystyle \phi ={\textstyle {\frac {1}{2}}}(1+{\sqrt {5}})}$,

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-\phi )=-{\textstyle {\frac {1}{10}}}\pi ^{2}-\ln ^{2}{\phi }}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-\phi ^{-1})=-{\textstyle {\frac {1}{15}}}\pi ^{2}+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{\phi }}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\phi ^{-1})={\textstyle {\frac {1}{10}}}\pi ^{2}-\ln ^{2}{\phi }}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\phi ^{-2})={\textstyle {\frac {1}{15}}}\pi ^{2}-\ln ^{2}{\phi }}$

а також для дилогарифма уявного аргументу,

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\pm {\rm {i}})=-{\textstyle {\frac {1}{48}}}\pi ^{2}\pm {\rm {i}}G}$

де G — стала Каталана.

Співвідношення для окремих значень

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{3}}}\right)-{\textstyle {\frac {1}{6}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)={\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{6}}}\ln ^{2}{3}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\right)+{\textstyle {\frac {1}{6}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}+\ln {2}\;\ln {3}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{2}-{\textstyle {\frac {1}{3}}}\ln ^{2}{3}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{4}}}\right)+{\textstyle {\frac {1}{3}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)={\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}+2\ln {2}\;\ln {3}-2\ln ^{2}{2}-{\textstyle {\frac {2}{3}}}\ln ^{2}{3}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\textstyle {\frac {1}{3}}}\right)-{\textstyle {\frac {1}{3}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}+{\textstyle {\frac {1}{6}}}\ln ^{2}{3}}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\textstyle {\frac {1}{8}}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}\!\left({\textstyle {\frac {9}{8}}}\right)}$

${\displaystyle 36\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{2}}}\right)-36\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{4}}}\right)-12\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{8}}}\right)+6\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{64}}}\right)={\pi }^{2}}$

• Функція Клаузена ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )}$

Виникає при розгляді дилогарифма, аргумент якого знаходиться на одиничному колі в комплексній площині,

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(e^{{\rm {i}}\theta }\right)={\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{4}}}\theta (2\pi -\theta )+{\rm {i}}\;\operatorname {Cl} _{2}(\theta ),\quad (0\leq \theta \leq 2\pi )}$

Таким чином,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )=\operatorname {Im} \left[\operatorname {Li} _{2}\left(e^{{\rm {i}}\theta }\right)\right]={\textstyle {\frac {1}{2{\rm {i}}}}}\left[\operatorname {Li} _{2}\left(e^{{\rm {i}}\theta }\right)-\operatorname {Li} _{2}\left(e^{-{\rm {i}}\theta }\right)\right]}$

• Функція Лобачевського

Ця функція використовується під час обчислення об'ємів у гіперболічній геометрії, і пов'язана з функцією Клаузена (а отже і з дилогарифмом),

${\displaystyle L(\theta )=-\int _{0}^{\theta }{\rm {d}}\tau \;\ln |\cos \tau |=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )+\theta \ln {2}}$

Іноді використовується інше визначення функції Лобачевського,

${\displaystyle \Lambda (\theta )=-\int _{0}^{\theta }{\rm {d}}\tau \;\ln |2\sin \tau |={\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )}$

• Інтегральний арктангенс ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(y)}$

Виникає під час розгляду дилогарифма уявного аргументу,

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}({\rm {i}}y)={\textstyle {\frac {1}{4}}}\operatorname {Li} _{2}(-y^{2})+{\rm {i}}\;\operatorname {Ti} _{2}(y)}$

Таким чином,

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(y)=\operatorname {Im} \left[\operatorname {Li} _{2}({\rm {i}}y)\right]={\textstyle {\frac {1}{2{\rm {i}}}}}\left[\operatorname {Li} _{2}({\rm {i}}y)-\operatorname {Li} _{2}(-{\rm {i}}y)\right]}$

• Функція Лежандра ${\displaystyle {\displaystyle {\chi _{2}(z)}}}$

Ця функція виражається через дилогарифми як

${\displaystyle \chi _{2}(z)=\sum \limits _{j=1}^{\infty }{\frac {z^{2j+1}}{(2j+1)^{2}}}={\textstyle {\frac {1}{2}}}\left[\operatorname {Li} _{2}(z)-\operatorname {Li} _{2}(-z)\right]}$

Зокрема, ${\displaystyle \chi _{2}({\rm {i}}y)={\rm {i}}\operatorname {Ti} _{2}(y)}$ .

• Leonard Lewin,. Dilogarithms and associated functions. — Macdonald, London, 1958. MR0105524
• Leonard Lewin,. Polylogarithms and associated functions. — North Holland, New York, Oxford, 1981.
• Don Zagier, The dilogarithm function (PDF) [Архівовано 26 березня 2015 у Wayback Machine.]
• Weisstein, Eric W. Dilogarithm(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.