Гептаміно

Гептаміно — семиклітинне поліміно, тобто плоска фігура, що складається з семи рівних квадратів, з'єднаних сторонами. З фігурами гептаміно, як і з усіма поліміно, пов'язано багато задач цікавої математики.

Якщо не вважати різними фігури, що збігаються при поворотах та дзеркальних відбиттях, то різних («двосторонніх», «вільних») форм гептаміно налічується 108 (див. малюнок).^[1][2] Існує 196 видів «односторонніх» гептаміно (якщо дзеркальні відбиття вважати різними фігурами) та 760 видів «фіксованих» гептаміно (різними вважаються також і повороти).^[3]

108 вільних фігур гептаміно за властивостями симетрії можна поділити на 6 категорій:

• 84 гептаміно (на малюнку зображені сірим кольором) асиметричні;
• 9 гептаміно (зображені червоним) мають вісь симетрії, паралельну лініям квадратної сітки;
• 7 гептаміно (зображені зеленим) мають діагональну вісь симетрії;
• 4 гептаміно (зображені синім) мають центральну (обертову) симетрію другого порядку;
• 3 гептаміно (зображені фіолетовим) мають дві осі симетрії, паралельні лініям сітки;
• 1 гептаміно (зображено помаранчевим) має дві діагональні осі симетрії.

Для односторонніх гептаміно (тобто, якщо дзеркальні відбиття фігур вважати різними), кількості в першій та четвертій категоріях подвоюються, що додає 88 гептаміно, тобто, загалом 196. Для фіксованих гептаміно (тобто, якщо повороти також розглядати як різні фігури), то перша категорія зросте у вісім разів, порівняно з вільними гептаміно, наступні три категорії — у чотири рази, а дві останні категорії — у два. Це дасть ${\displaystyle 84\times 8+(9+7+4)\times 4+(3+1)\times 2=760}$ фіксованих гептаміно.

Серед 108 вільних гептаміно є одна фігура з отвором («неоднозв'язна»). З цього випливає, що суцільне покриття будь-якого прямокутника площею ${\displaystyle 108\times 7=756}$ квадратів повним набором гептаміно неможливе. (Неможливо також покрити повним набором гептаміно прямокутник площею 757 квадратів з отвором на 1 квадрат, оскільки 757 — просте число, а скласти з гептаміно прямокутник 1×757, очевидно, неможливо).

Тим не менш, з повного набору 108 гептаміно можна скласти три прямокутники 11×23, кожен з одноклітинним отвором у центрі. Зрозуміло, навколо один із цих отворів належить неоднозв'язному гептаміно. Комбінуючи ці прямокутники в різний спосіб, можна отримати прямокутник 33×23 або 11×69 із трьома симетрично розташованими отворами.

Якщо відкинути неоднозв'язне гептаміно, з решти 107 однозв'язних фігур (загальною площею 749 квадратів) можна різними способами скласти прямокутник 7×107. Зокрема, з них можна скласти чотири прямокутники 7×25 та один квадрат 7×7.^[4]

З усіх 108 гептаміно можна скласти 12 однакових шахових дощок 8 × 8, у кожній з яких видалено одне й те саме поле.^[5] Патрик Гемлін (Patrick Hamlyn) здійснив цю побудову, використовуючи забарвлені в три кольори гептаміно (36 гептаміно кожного з трьох кольорів), так що одноколірні фігури не торкаються одна одної. Потім, не змінюючи розфарбування фігур, з усіх гептаміно кожного з трьох кольорів можна скласти прямокутник 11 × 23 з видаленим центральним мономіно.^[6]

Псевдополіміно — узагальнення поліміно, набір полів нескінченної шахівниці, які може обійти король.^[1] Існує 3031 двостороннє,^[7] 5931 одностороннє^[8] та 23 592 фіксованих^[9] псевдогептаміно.

• Голомб С.В.. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М. : Мир, 1975. — 207 с.
• Solomon W. Golomb. Polyominoes. — 2nd ed. — Princeton, New Jersey : Princeton University Press, 1994. — ISBN 0-691-02444-8.
• D. Hugh Redelmeier. Counting polyominoes: yet another attack // Discrete Mathematics : журнал. — 1981. — Т. 36 (24 жовтня). — С. 191–203. — DOI:10.1016/0012-365X(81)90237-5.
• Daniel A. Rawsthorne. Tiling complexity of small n-ominoes (n<10) // Discrete Mathematics : журнал. — 1988. — Т. 70 (24 жовтня). — С. 71–75. — DOI:10.1016/0012-365X(88)90081-7.
• Glenn C. Rhoads. Planar tilings by polyominoes, polyhexes, and polyiamonds // Journal of Computational and Applied Mathematics : журнал. — 2005. — Т. 174, вип. 2 (24 жовтня). — С. 329–353. — DOI:10.1016/j.cam.2004.05.002.