Виявлення сигналу

Ви́явлення сигна́лу — завдання оптимального прийому сигналів.

Припустимо, що в прийнятому сигналі ${\displaystyle r(t)}$ може бути присутнім або відсутнім сигнал ${\displaystyle s(t,\lambda )}$ , тобто сигнал, що приймається r(t) дорівнює ^[1] ${\displaystyle r(t)=\alpha s(t,\lambda )+n(t)}$,
де випадкова величина ${\displaystyle \alpha }$ може приймати значення 0 (сигнал відсутній) або 1 (сигнал присутній); ${\displaystyle s(t,\lambda )}$ — спостережуваний на інтервалі спостереження [0, T] детермінований сигнал. При вирішенні завдання виявленні сигналу необхідно визначити наявність сигналу ${\displaystyle s(t,\lambda )}$ в r(t) , тобто оцінити значення параметра ${\displaystyle \alpha }$. При цьому можливі два варіанти. Апріорні дані — ймовірності ${\displaystyle p_{p}}$${\displaystyle _{r}(t,\alpha =0)}$ і ${\displaystyle p_{p}}$${\displaystyle _{r}(t,\alpha =1)}$ — можуть бути відомі чи ні.

Сформульована задача виявлення сигналу є окремим випадком загальної задачі статистичної перевірки гіпотез ^[1] . Гіпотезу про відсутність сигналу будемо позначати ${\displaystyle H_{0}}$, А гіпотезу про наявність сигналу — ${\displaystyle H_{1}}$.

Якщо апріорні ймовірності ${\displaystyle P_{pr}(H_{0})}$ і ${\displaystyle P_{pr}(H_{1})}$ відомі, то можна використовувати критерій мінімуму середнього ризику (байєсовський критерій) R:

${\displaystyle R=\sum _{i,k=0}^{1}P_{pr}(H_{i})Q_{ik}\int \limits _{X_{k}}W(x|H_{i})dx}$,

де ${\displaystyle {Q_{ik}}}$ — матриця втрат, а ${\displaystyle W(x|H_{i})}$ — функція правдоподібності вибірки спостережуваних даних, якщо передбачається істинність гіпотези ${\displaystyle H_{i}}$.

У цьому випадку, якщо апріорні ймовірності ${\displaystyle P_{pr}(H_{0})}$ і ${\displaystyle P_{pr}(H_{1})}$ невідомі, то з пороговим значенням ${\displaystyle h_{0}}$ порівнюється відношення правдоподібності ${\displaystyle l_{0}}$:

${\displaystyle l_{0}={\frac {F(r|H_{1})}{F(r|H_{0})}}=exp({\frac {2}{N}})\int \limits _{0}^{T_{0}}(r(t)s(t)dt-E/N)}$ ,

де E — енергія сигналу, а N — одностороння спектральна густина гаусівського адитивного білого шуму.

Якщо апріорні ймовірності ${\displaystyle P(H_{0})}$ і ${\displaystyle P(H_{1})}$ відомі, то рішення про наявність сигналу приймається на основі порівняння відносини апостеріорних ймовірностей ${\displaystyle l_{1}}$ з деяким граничним значенням ${\displaystyle h_{0}}$ ^[1]: ${\displaystyle l_{1}={\frac {P_{ps}(H_{1})}{P_{ps}(H_{0})}}={\frac {P_{pr}(H_{1})}{P_{pr}(H_{0})}}exp({\frac {2}{N}})\int \limits _{0}^{T_{0}}(r(t)s(t)dt-E/N)}$

Завдання виявлення часто зустрічається в радіолокації та інших областях радіотехніки.