Вектор Шеплі

Вектор Шеплі — принцип оптимальності розподілу виграшу між гравцями в задачах теорії кооперативних ігор. Являє собою розподіл, в якому виграш кожного гравця дорівнює його середньому вкладу в виграш великої коаліції при певному механізмі її формування.

Для кооперативної гри розглянемо деяке впорядкування множини всіх гравців ${\displaystyle N}$. Позначимо через ${\displaystyle K_{i}}$ підмножину, яка містить перших ${\displaystyle i}$ гравців в даному впорядкуванні. Вкладом '${\displaystyle i}$-го гравця назвемо величину ${\displaystyle v(K_{i})-v(K_{i-1})}$, де ${\displaystyle v}$ — характеристична функція кооперативної гри.

Вектором Шеплі кооперативної гри називається такий розподіл виграшу, що кожний гравець отримує математичне сподівання свого вкладу в відповідні коаліції K_i, при рівноймовірному винекненні впорядкувань :

${\displaystyle \Phi (v)={\frac {1}{n!}}\sum _{\tau \in T}x_{\tau },}$

де ${\displaystyle n}$ — кількість гравців, ${\displaystyle T}$ — множина впорядкувань множити гравців ${\displaystyle N,\ x_{\tau }}$ — розподіл виграшу в якому гравець, що стоїть на місці ${\displaystyle i}$ у впорядкуванні ${\displaystyle \tau }$, отримує свій вклад в коаліцію ${\displaystyle K_{i}}$ (точка Вебера).

Більш розповсюджена формула для обчислення вектора Шеплі, яка не потребує знаходження ${\displaystyle n!}$ точок Вебера, має вигляд:

${\displaystyle \Phi (v)_{i}=\sum _{K\ni i}{\frac {(k-1)!(n-k)!}{n!}}(v(K)-v(K\setminus i)),}$

де ${\displaystyle n}$ — кількість гравців, ${\displaystyle k}$ — кількість учасників коаліції ${\displaystyle K}$.

Вектор Шеплі задовольняє наступним властивостям:

1. Лінійність. Відображення ${\displaystyle \Phi (v)}$ є лінійним оператором, тобто для будь-яких двох ігор з характеристичними функціями ${\displaystyle v}$ і ${\displaystyle w}$:

${\displaystyle \Phi (v+w)=\Phi (v)+\Phi (w);}$

і для будь-якої гри з характеристичною функцією ${\displaystyle v}$ і для будь-якого ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle \Phi (\alpha v)=\alpha \Phi (v).}$

2. Симетричність. Виграш, який отримує гравець не залежить від його номера. Це означає, що якщо гра ${\displaystyle w}$ отримана з гри ${\displaystyle v}$ перестановкою гравців, то її вектор Шеплі ${\displaystyle \Phi (w)}$ є вектор ${\displaystyle \Phi (v)}$ з відповідним чином переставленими елементами.

3. Аксіома бовдура. В теорії кооперативних ігор бовдуром називається гравець, який не вносить вклад ні в одну з коаліцій, тобто гравець ${\displaystyle i}$ такий, що для будь-якої коаліції ${\displaystyle K}$, яка містить ${\displaystyle i}$ виконується: ${\displaystyle v(K)-v(K\setminus i)=0}$.

Аксіома бовдура полягає в тому, що якщо гравець ${\displaystyle i}$ — бовдур, то ${\displaystyle \Phi (v)_{i}=0}$.

4. Ефективність. Вектор Шеплі дозволяє повністю розділити виграш великої коаліції, тобто сума компонент вектора ${\displaystyle \Phi (v)}$ рівна ${\displaystyle v(N)}$.

Теорема Шеплі. Для будь-якої коопертивної гри ${\displaystyle v}$ існує єдиний розподіл виграшу, який задовольняє аксіомам 1 — 4.

• Кооперативна гра (теорія ігор)

• Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. В. Теория игр — СПб: БХВ-Петербург, 2012, 432 с.
• Воробьев Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков — М.: Наука, 1985
• Печерский С. Л., Яновская Е. Б. Кооперативные игры: решения и аксиомы — Изд-во Европейского ун-та в С.-Петербурге, 2004, 459 с.