Біном Ньютона

Біно́м Ньютона (двочлен Ньютона) — вираз вигляду ${\displaystyle (a+b)^{n}}$. Біном розкладається в суму одночленів, які є добутками деяких степенів його доданків a і b. В шкільній програмі вивчається формула бінома Ньютона із степенями n=2 та 3:

${\displaystyle \ (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$

${\displaystyle \ (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}}$

Спробуємо розкласти ${\displaystyle (a+b)^{n}}$ в многочлен у загальному випадку n. Запишемо його у вигляді добутку, пронумерувавши дужки:

${\displaystyle {\begin{matrix}1&2&\ldots &n\\(a+b)&(a+b)&\ldots &(a+b)\end{matrix}}}$

Кожний доданок містить n множників: (n-k) множників a і k множників b, тобто має вигляд ${\displaystyle a^{n-k}b^{k}}$, де ${\displaystyle n\geq k\geq 0}$. Кожний такий доданок взаємно однозначно відповідає підмножині номерів дужок, з яких для утворення цього доданка, бралися множники a. Таким чином, доданків ${\displaystyle a^{n-k}b^{k}}$ рівно стільки, скільки таких підмножин. В комбінаториці це число називається числом комбінацій з n по k і позначається ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ або ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$. Отже,

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}}$

Коефіцієнти ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ при ${\displaystyle a^{n-k}b^{k}}$ називаються біноміальними, оскільки записуються в розкладі бінома ${\displaystyle (a+b)^{n}}$.

Біноміальні коефіцієнти мають очевидну властивість симетрії:

${\displaystyle C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}}$

Розглянемо окремі випадки бінома Ньютона:

• при b=1 маємо :${\displaystyle (a+1)^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}}$,
• при a=b=1 маємо :${\displaystyle (1+1)^{n}=2^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}}$,
• при a= −1, b=1 маємо :${\displaystyle (-1+1)^{n}=0^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}(-1)^{n-k}}$.

Запишемо біноміальні коефіцієнти для початкових значень n=0, 1, …, 5 у трикутну таблицю (трикутник Паскаля):

${\displaystyle {\begin{matrix}1\\1&1\\1&2&1\\1&3&3&1\\1&4&6&4&1\\1&5&10&10&5&1\\1&6&15&20&15&6&1\end{matrix}}}$

З таблиці видно, що кожний елемент, який не є першим у своєму рядку, є сумою елемента над ним і елемента, розташованого над ним і ліворуч:

${\displaystyle C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}}$.

Доведення цього факту можливе методом математичної індукції.

• Біноміальний коефіцієнт
• Біном (двочлен)
• Біноміальний розподіл

• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2026. — 2538 с.(укр.)
• В.А. Вишенський, М.О. Перестюк. Комбінаторика: перші кроки. — Кам'янець-Подільський : Аксіома, 2010. — 324 с. — ISBN 978-966-496-136-0.(укр.)
• Ядренко М. В. Дискретна математика. — Київ : ТВіМС, 2004. — 245 с.(укр.)
• И. И. Ежов, А. В. Скороход, М. И. Ядренко. Элементы комбинаторики. Москва: Наука, 1977. — 80 с.
• Вилекин Н. Я. Комбинаторика. Ленинград: Наука, 1969. — 328 с.

• Комбинаторика и бином Ньютона [Архівовано 22 червня 2010 у Wayback Machine.]