Інтегральне рівняння

Інтегральним є рівняння, яке містить інтеграл, підінтегральний вираз якого включає в себе невідому функцію ${\displaystyle f(x).}$

Інтегральним є рівняння, яке містить інтеграл, підінтегральний вираз якого включає в себе невідому функцію ${\displaystyle f(x).}$ Нехай ${\displaystyle F(x)}$ та ${\displaystyle K(x,y)}$ — відомі функції. Інтегральні рівняння мають вигляд

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,dy;}$

або

${\displaystyle f(x)=\lambda \int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,dy,}$

де ${\displaystyle \lambda \in (\mathbb {C} \lor \mathbb {R} )}$ — чисельний множник. Функція ${\displaystyle K(x,y)}$ під інтегралом називається ядром інтегрального рівняння і повинна бути визначена у прямокутнику ${\displaystyle a\leq x\leq b,\,\,\,a\leq y\leq b.}$ Функції ${\displaystyle F(x)}$ та ${\displaystyle f(x)}$ повинні бути визначені у інтервалі ${\displaystyle a\leq x\leq b.}$

Інтегральне рівняння є лінійним, якщо невідома функція входить до нього лінійно. Обидва вищенаведені рівняння є лінійними. Якщо обидві границі інтегрування сталі, то рівняння називається інтегральним рівнянням Фредгольма. Рівняння, до якого невідома функція входить лише під знаком інтегралу, визначають як інтегральне рівняння першого роду. Перше з вищенаведених рівнянь є інтегральним рівнянням першого роду. Інтегральне рівняння другого роду - це рівняння, у якому невідома функція присутня як під знаком інтегралу, так і поза ним; друге з вищенаведених рівнянь - приклад такого рівняння.

Якщо рівняння таке, що кожний член містить невідому функцію, то воно представляє собою однорідне інтегральне рівняння. Якщо у рівняння входить член, який не містить невідому функцію, то воно є неоднорідним. Друге з вищенаведених рівнянь є прикладом однорідного рівняння Фредгольма другого роду.

Рішення інтегрального рівняння базується на оберненні першого лінійного інтегрального виразу з метою віднаходження ${\displaystyle f(y)}$ або на відшуканні функції ${\displaystyle f(x)}$, яка входить у друге рівняння.

Важливим рівнянням серед рівнянь першого роду є інтегральне рівняння Фур'є:

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(y)\exp(-ixy)\,dy.}$

Ядром цього рівняння є ${\displaystyle (1/{\sqrt {2\pi }})\exp(-ixy).}$

Власні функції однорідного інтегрального рівняння із симетричним ядром є ортогональними. Це значить, що

${\displaystyle \int _{a}^{b}f_{n}(x)f_{m}(x)dx=0,\quad \quad n\neq m,}$

де

${\displaystyle f_{n}(x)\lambda _{n}\int _{a}^{b}K(x,y)f_{n}(y)\,dy,}$

${\displaystyle f_{m}(x)\lambda _{m}\int _{a}^{b}K(x,y)f_{m}(y)\,dy.}$

Нехай ${\displaystyle \lambda _{m}\neq \lambda _{n}}$, помножимо ${\displaystyle \lambda _{m}f_{m}\cdot f_{n}(x)}$ та ${\displaystyle \lambda _{n}f_{n}\cdot f_{m}(x),}$ віднімемо одну рівність від іншої. Після інтегрування знаходимо

${\displaystyle (\lambda _{m}-\lambda _{n})\int _{a}^{b}f_{n}(x)f_{m}(x)dx=\lambda _{n}\lambda _{m}\int _{a}^{b}\int _{a}^{b}[K(x,y)f_{n}(y)f_{m}(x)-K(x,y)f_{m}(x)f_{n}(x)]\,dy\,dx.}$

Перша частина цієї рівності дорівнює нулю (якщо переставити змінні інтегрування у другій частині подвійного інтегралу із врахуванням того, що ${\displaystyle K(x,y)=K(y,x)}$). Оскільки ${\displaystyle \lambda _{m}\neq \lambda _{n}}$, то власні функції є ортогональними.

Найпростішим типом рівнянь є рівняння Фредгольма першого роду:

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt.}$

де φ є невідомою функцією, f є деякою даною функцією, K є відомою функцією двох змінних, що називається ядром рівняння.

Якщо невідома функція знаходиться як під знаком інтеграла так і за його межами, то таке рівняння називається рівняням Фредгольма другого роду:

${\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt.}$

Де параметр λ є невідомим і відіграє ту ж роль, що власне значення у лінійній алгебрі.

Якщо межі інтегрування самі є змінними то таке інтегральне рівняння називається рівнянням Вольтерра. Відповідно рівняння Вольтерра першого і другого роду мають вигляд:

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt}$

${\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,\varphi (t)\,dt.}$

В усіх поданих вище рівняннях якщо функція f всюди рівна нулю то рівняння називається однорідним. В іншому випадку  — неоднорідним.

${\displaystyle \varphi (x)=\int \limits _{a}^{b}K(x,\;s,\;\varphi (s))\,ds,\qquad K(x,\;s,\;\varphi )\in C(a\leqslant x,\;s\leqslant b;\;-M\leqslant \varphi \leqslant M).}$

Стала ${\displaystyle M}$  — деяке додатне число, яке не завжди наперед можна визначити.

Рівняння Гаммерштейна є частковим випадком рівнянь Урисона:

${\displaystyle \varphi (x)=\int \limits _{a}^{b}K(x,\;s)F(s,\;\varphi (s))\,ds,}$

де ${\displaystyle K(x,\;s)}$ — ядро Фредгольма.

Рівняння Ляпунова — Ліхтенштейна  — рівняння з суттєво нелінійними операторами, наприклад:

${\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda \int \limits _{a}^{b}K_{[1]}(x,\;s)\varphi (s)\,ds+\mu \int \limits _{a}^{b}\int \limits _{a}^{b}K_{[1,\;1]}(x,\;s,\;z)\varphi (x)\varphi (z)\,ds\,dz+\ldots }$

${\displaystyle \varphi (x)=\int \limits _{a}^{x}F(x,\;s,\;\varphi (s))\,ds,}$

де функція ${\displaystyle F(x,\;s,\;\varphi )}$ неперервна за всіма своїми змінними.

• Теорія Фредгольма

• E.T. Whittaker, G. N. Watson. A Course of Modern Analysis. — 5th. — Cambridge, 1902,1927. — 668 с.(англ.)
• Перестюк М. О.; Маринець В. В. (2006). Теорія рівнянь математичної фізики (PDF). Київ: Либідь. с. 424. ISBN 966-06-0411-4.(укр.)
• М. Л. Краснов. Интегральные уравнения: введение в теорию. — М.: Наука, 1975.
• Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4.

• Інтегральні рівняння // Енциклопедія сучасної України / ред. кол.: І. М. Дзюба [та ін.] ; НАН України, НТШ. — К. : Інститут енциклопедичних досліджень НАН України, 2001­–2026. — ISBN 966-02-2074-X.