Міра різноманітності

Міра різноманітності (також індекс різноманітності) — безрозмірнісний показник, що застосовується в біології для визначення ступеня рівномірності розподілу ознак об'єктів вибірки. Подвійним поняттям для різноманітності є поняття однорідності або концентрації. Міри різноманітності є унарними мірами близькості.
Міри різноманітності є сенс використовувати виключно для оцінки інвентаризаційної різноманітності, тобто різноманітності всередині об'єкта.
Вважають, що першою мірою різноманітності, використаною в біології, був індекс Шеннона, адаптований Робертом Макартуром для дослідження трофічних мереж ^[1]:

${\displaystyle H=-\sum _{i=1}^{n}p_{i}\log _{2}p_{i}}$

,

де ${\displaystyle p_{i}={x_{i} \over \sum _{i=1}^{n}x_{i}}}$ і відповідає числу ознак (наприклад, особин) певного об'єкта (наприклад, виду) у вибірці (наприклад, у біоценозі). Теоретично Н-функція набуває максимального значення тоді, коли має місце повна вирівненість розподілу ${\displaystyle \log _{2}N}$, що відповідає найбільшій різноманітності системи (N – загальне число об'єктів (наприклад, видів в біоценозі)), а мінімальне дорівнює 0. Інколи, щоб позбутися від незвичної для біолога одиниці вимірювання "біт" здійснюють нормування індексу, наприклад так: ${\displaystyle {H \over H_{max}}}$^[2]. Є думка, що індекс Шеннона надає більшого значення рідкісним видам, ніж інші індекси^[3]. Для прикладу для орнітофауни сосново-березових лісів південної тайги Уралу значення індексу Шеннона становить від 2,6 до 3^[4]. Варто відзначити, що різні міри різноманітності були відомі и до праць К.Шеннона^[5].

Перше узагальнення для мір різноманітності запропонував Альфред Реньї^[6]. Формула добре відома математикам як формула ентропії Реньї. Якщо альфа-індекс дорівнює 0 ми одержуємо ${\displaystyle \log _{2}N}$ (відома як формула Хартлі); при значенні ${\displaystyle \alpha \rightarrow 1}$ індекс ідентичний індексу Шеннона; при значенні ${\displaystyle \alpha \rightarrow \infty }$ одержуємо ${\displaystyle \log _{2}{1 \over p_{max}}}$, де у знаменнику індекс Бергера-Паркера, який визначається як максимум з усіх розглядуваних долей. Активно обговорювалося питання щодо того, яку основу логарифма найкраще застосовувати. Відомі приклади використання в біології логарифмів з основами 2, 10, e. Від проблеми вибору основи логарифма вільна формула Гілла.

На основі формули ентропії Реньї М. Гіллом був запропонований континуум мір вирівненності (evenness) у вигляді уніфікованої формули, визначеної як антилогарифм від ентропії Реньї^[7].

${\displaystyle R_{\alpha }=(\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha })^{1 \over 1-\alpha };\alpha \geqslant 0.}$

Наведемо приклади для деяких випадків: ${\displaystyle R_{0}=N;R_{1}=e^{H};R_{2}={1 \over \sum _{i=1}^{n}p_{i}}}$, де в знаменнику індекс Сімпсона. Пізніше, на основі даної формули була створена низка мір: міра Шелдона (Sheldon), міра Хейпа (Heip), міра Алатало (Alatalo), міра Молінарі (Molinari) та ін. Без прив'язки до параметричних родин використовуються такі міри:

• індекс Глізона: ${\displaystyle {N \over ln(p_{i})}}$;
• індекс Маргалефа: ${\displaystyle {N-1 \over lg(p_{i})}}$;
• індекс Менхиніка: ${\displaystyle {N \over {\sqrt {p}}_{i}}}$;
• індекс вирівненності Пілу (інколи Пієлу, або Пієлоу): ${\displaystyle {\frac {H}{\log N}}={H \over H_{max}}}$. Є по суті нормуванням індексу Шеннона між 0 та 1.

Існують і інші індекси різноманітності, які застосовуються біологами^[8], до речі найпростішим показником різноманітності є видове багатство або число видів.

Міри однорідності використовуються значно менше. Тут можна відзначити родину мір концентрації (${\displaystyle Q_{\alpha }}$) О.М. Колмогорова. Його міри коеквівалентні до мір родини Гілла як ${\displaystyle R_{\alpha }={1 \over Q_{\alpha }}}$.

Дана група індексів рідко використовується з причини складності обчислення. Найвідомішим індексом цього типу є індекс Бріллюена^[9]. Для біологічних досліджень вперше використаний Рамоном Маргалефом^[10]:

${\displaystyle {1 \over N}\log _{2}{N! \over n_{1}!...n_{S}!}}$

Міри різноманітності на основі дескриптивних множин були запропоновані Б.І. Сьомкіним в 1971 році^[11], а також Р.Л. Акоффом і Ф.Е. Емері в 1972 році^[12]. Наприклад, Б.І. Сьомкін запропонував абсолютну міру різноманітності, що ґрунтувалася на порівнянні досліджуваної вагової множини з еталоном, що має максимальну різноманітність:

${\displaystyle K_{0}(X,X_{max})=m(X\cap X_{max})}$,

де ${\displaystyle X_{max}=\left\{x_{i},\mu (X_{i})={1 \over n},i=1,...,n\right\}}$, X – вагова множина, різноманітність якої визначається; n – число таксонів. Також використовується нормована відносна міра різноманітності:

${\displaystyle R_{S}={n\sum _{i=1}^{n}min(p_{i},{1 \over n})-1 \over n-1}}$

Істинна різноманітність, або ефективна кількість типів, описує кількість однаково чисельних типів потрібних для того аби середня пропорційна чисельність типів дорівнювала спостережуваній в цікавому нам наборі даних (де всі типи можуть не бути однаково чисельними). Істинна різноманітність в наборі даних обчислюється отриманням оберненого до [[середнє степеневе|середнього степеневого M_q−1 пропорційних чисельностей типів в наборі даних. Якщо описати рівнянням:^[13][14]

${\displaystyle {}^{q}\!D={1 \over M_{q-1}}={1 \over {\sqrt[{q-1}]{\sum _{i=1}^{R}p_{i}p_{i}^{q-1}}}}=\left({\sum _{i=1}^{R}p_{i}^{q}}\right)^{1/(1-q)}}$

• Біорізноманіття
• Коефіцієнт подібності
• Індекс узагальненого біорізноманіття

• Індекс видового різноманіття // Словник-довідник з екології : навч.-метод. посіб. / уклад. О. Г. Лановенко, О. О. Остапішина. — Херсон : ПП Вишемирський В. С., 2013. — С. 101.